一题一作业实践探究——以《双曲线与直线的综合》作业为例

      在“双减”政策出台背景下，如何合理调控及优化设计作业，以达到减少重复题型训练，实现作业预期价值，促进学生有效发展。本文通过一题多问的形式设计，立足于每一问之间的层层递进，有助于学生跨越最近发展区，理清同一个知识与不同知识之间的综合联系，减少阅读题目时间，加强作业题目之间的联系，减量提质。

      作业呈现：

      C组

      1.如图，一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2= 的图像相交于A(-1,m)、B(n,-1)两点，连接OA、OB。

      (1)求点A、B的坐标                              

      (2)求一次函数解析式。

      (3)求出直线y1=kx+b与x轴、y轴的交点坐标，        

      以及围成的三角形面积。

      B组

      (4)若y1>y2,则x的取值范围是——

      (5)若直线y1=kx+b与y轴相交于点C,求△AOC、△AOB的面积。

      (6)在双曲线上找一点P,使△OCP是△OCA面积的2倍，求点P坐标；

      (7)在y轴上找一点E,使得△AEB是△AOB面积的3倍，求点E坐标

      A组

      (8)如图，若点F是x轴的一动点，当△AOF是等腰三角形时，求点F坐标。

      (9)请根据本题，再设计一小问，并解答。

      设计反思：

      一、选题，编排

      《双曲线与直线的综合》是在学完《反比例函数的图像与性质》后学习的一个重点也是一个热点内容。由于学生基础差异较大，很多同学尚处于知识“消化”当中。为了更准确的了解学生真实学习情况，我让学生进行作业设计，由各个等级的学生选出C、B、A三个层次的作业题目，发现基础薄弱的同学主要选择交点问题、解析式问题、简单的三角形面积问题，中等学生主要选择求自变量取值,比较函数值大小问题、复杂的面积问题，优等生主要选择等腰三角形的存在问题等。综合学生学情，我将这些题目融合编排成一道题，一题多问。既节省了不必要的机械刷题，又激发了学生的追问思维。由易到难，层层递进，为学生创建最近发展区，让学生在连环的一问一问中探索解题方法和思想，让题目的难度步步降低，也培养了学生发现问题，提升问题，分析问题和解决问题的能力。让学生体会转化和化归思想，归纳梳理出解决问题的模型。

      二、变式，探究

      第（5)问求△A0C、△AOB的面积。如果直接求△AOB面积，已掌握的同学习惯沿着x轴将△AOB割成两个三角形，此时两个三角形的高皆为各自的lyl.但学生基本对此已掌握。而对三角形高为|x|的难以理解。纵观双曲线与直线综合，在求三角形面积最值时，大都需要用平行于y轴的直线进行“切割”。所以先求△AOC可以帮助学生掌握求高为|x|的三角形面积，也“提醒”学生将△AOB沿着y轴“切割”。第（6)、（7)问分别是求△AOC、△AOB的变式与升华，让学生感受到点由静到动、由数到字母的跨越，也找到了解决这一类问题的基本模型，进一步培养学生转化与化归的能力。

      三、反馈，分析

      每一次设计作业，除了要专研教材，考点，更应该要专研学生的最新现状，作业布置后，了解学生最新的作业情况，了解学生弱项，有的放矢，再做调整。

      (一）本以为学生对第（3)小题这种由数到形利用函数图像解不等式很容易，但其实学生很难理解：有些学生甚至弄不清楚是要求x的取值范围还是求y的取值范围，有些学生看不出哪个函数图像在上面，有些同学不知道要跳过哪个点……

      (二）在求△AOB的面积时，学生存在不知道如何“切割”三角形，缺乏对三角形要“横割”或“竖割”的思想意识，因为没有标出直线与x轴或y轴的交点，也限制了学生“割”的思维。

      (三）对于题（5),学生对动点有一种畏惧心理，有部分学生因为见到动点而就放弃，没有看题目去深入思考。因为点p是一个动点，学生不知如何表达三角形的高，也不清楚需要如何分类，以何分类，没有借鉴前几问的结论。

      (四）对于题（7),在分类的时候，学生大多以腰分类，但是容易混乱，错漏。在计算的时候没有利用好等腰三角形的性质而求得点。

      (五）题（8)完成的人数较少，老师可以上课讲解，学生订正完成。最后一问以作业的形式出了一道开放式的题目，让学生自己通过已有条件，自设问题，自己作答，既考察了学生已掌握的运算知识和技巧，也促进学生发散思维的发展，提高学生数学综合能力。当然，作者更倾向于将数学与实践相结合，通过学习数学知识解决实际问题，让学生清晰感受数学的价值，让学习数学成为一种需求，这样一种内在动力将持久的驱动学生努力学习数学知识，这将是一种趋势，也是我们不断努力的目标！

      作者：巴中市兴合实验学校  冯博